精品干貨：晶體學取向的分析方法

晶體學取向是材料學科中的重要分支，當晶粒發生擇優取向時，則導致材料性能（力學，物理和化學性能）的各向異性。各向異性會造成材料實際應用中的各種問題，如鋁合金典型的制耳現象，再如取向硅鋼中存在Goss織構時，有利于其磁學性能。在基礎研究領域，織構的形成與演變是基本的科學問題。在工業應用領域，通過織構的設計和控制可以提高材料的性能。隨著近年來EBSD和XRD等表征技術的發展，各種SCI期刊的發文都已離不開對材料晶體學取向的分析。然而關于晶體學取向的分析一直是難點，有些研究生甚至大學老師在面對極圖、反極圖和ODF圖時一臉茫然。筆者當年也對晶體學取向的分析感覺甚為棘手，經過上百篇文獻和書籍的閱讀，同時輾轉多次向多位國內大牛老師請教才得以入門。有感于晶體學取向分析的難度，筆者今天便將所學心得悉數分享給大家，希望能促進學術的交流，共同取得進步。

1. 晶帶定律

晶帶定律是晶體學中的重要定律，單晶極射赤面投影的正確理解和極圖、反極圖的分析都必須要正確掌握晶帶定律。在空間點陣中，所有平行于某一直線的一組晶面的組合稱為一個晶帶。或者說交線相互平行的一組晶面的組合稱為一個晶帶。這一直線就稱為晶帶軸，它用晶向指數來表示。

1）晶帶定律的含義：

已知一個晶面?(hkl) 和它所屬的晶帶[uvw]，就很容易得到二者之間的關系：hu+kv+lw=0，通常把這個關系式稱為晶帶定律。晶帶定律實際上給出了晶面與晶向之間的關系，如果晶向[uvw]包括在晶面(hkl)中，二者就滿足這個關系式。有了這個關系，我們就可以根據已知的晶面或晶帶來求得另外一些晶面或晶帶。

2）晶帶定律的兩個重要應用

已知兩晶面(h₁k₁l₁)和(h₂k₂l₂)，求交線[uvw]。
解：根據晶帶定律：

h₁u+k₁v+l₁w=0
h₂u+k₂v+l₂w=0
u：v：w=(k₁l₂-k₂l₁):(l₁h₂-l₂h₁):(h₁k₂-h₂k₁)

已知兩晶帶[u₁v₁w₁]和[u₂v₂w₂]，求晶面指數(hkl)。
解：根據晶帶定律：

hu₁+kv₁+lw₁=0
hu₂+kv₂+lw₂=0
h:k:l=(v₁w₂-v₂w₁):(w₁u₂-w₂u₁):(u₁v₂-u₂v₁)

2. 單晶極射赤面投影

晶體內部各晶面和晶向之間的取向關系本質上為三維空間的相對關系，表示起來通常很不方便。所以人們總是希望這種三維關系轉化為一種平面關系。目前最常用的便是極射赤面投影。單晶極射赤面投影的正確理解需要正確掌握晶帶定律和晶面夾角的計算。關于晶面夾角的計算公式比較簡單，在各種教材上皆已給出，筆者這里不再列出。極射赤面投影如圖1所示，將晶胞放在球心，然后引各晶面的法線（圖中綠線和紅線）無限延伸，與球面相較于某點（A、B兩極點），然后把球面的點與參考球的南極點S相連，則在赤道圓上相較于A'和B'兩點，叫做A、B兩極點的極射赤面投影點。

圖1?極射赤面投影原理

圖2為立方晶胞（001）、（100）和（010）面的極射投影，大家可以參考圖1所給出的原理進行理解。可以看出，此晶胞在參考球中放置斜了，假設如果（001）面垂直于ND軸，則投影的結果為（001）位于基圓圓心，（100）位于TD直線與基圓的左交點，（010）點位于TD直線與基圓的下交點（見圖2中的三個紅點所示）。（001）、（100）和（010）三個面是兩兩垂直的關系，他們之間的夾角是90°。從圖中不難聯想到基圓的半徑長為90°，1/4圓弧也為90°。

圖2?立方晶胞（001）、（100）和（010）面的極射投影

極射投影的規律是：與赤道面平行的晶面，它的極射投影必在極圓中心；垂直于赤道面的晶面，它們的極點的投影必在極圓的圓周上；傾斜晶面極點的投影必在極圓內，晶面法線與投影的夾角越小，則投影點距極圓中心越近。投影圖上的直線和圓弧上所有的點屬于晶同一帶。每一點的位置可以根據他所屬晶帶以及與圓心和上下極點的所呈角度求出。投影球面上任意兩點P₁和P₂之間的大圓弧段的弧度(P₁ P₂)，既是P₁、P₂兩點所代表的兩條直線間的交角，也是它們所代表的兩個平面間的交角或補角。一、三象限和二、四象限對稱點互為相反數。

下面筆者帶領大家畫出立方晶胞（001）的極射投影。首先可以確定（001）極點在投影圖基圓中心，其對應的大圓是基圓圓周，因此[001]為晶帶軸的所有極點都在基圓圓周上，因為首先根據坐標系，確定（100）極點，由于（010） ⊥?（100），逆轉90°便得（010）。（110）和（-110）也屬于[001]晶帶，由于（110）與（100）和（010）極點夾角分別為135°和45°，在圓周上旋轉相應角度便得兩個極點位置。根據象限規律可得（0-11）和（011）極點。以[010]為晶帶軸的晶帶位于過（100）極點和圓心的直徑上，（101）（-101）屬于此晶帶，同樣，計算他們與（010）和（001）的夾角就可以定出他們的極點位置。[-101]過 (010)和（101）的大圓弧，[0-11]晶帶過（100）和（011）極點的大圓弧，（111）同屬（-101）和（0-11）晶帶，所以交點就屬于（111）極點。其他的點都可以根據同樣的原理畫出^[1]。

圖 3 立方晶胞（001）面的重要點的極射投影

由此可見：確定任一極點位置的要素主要有兩個：1.確定所屬晶帶軸；2.確定此點與原點和兩極點的夾角。單晶極射赤面投影是分析極圖的基礎，大家平時能夠正確理解此圖的原理與特點就行，沒有必要親手繪制。事實上，現在很多軟件都可以畫出任一晶系任一晶面的極射投影，筆者在這里給大家推薦的是PTC lab軟件。這款軟件在小木蟲上就可以下載，

1）標準極圖的畫法

首先，我們應該了解極圖的定義，極圖是晶體的某一晶面相對于材料宏觀坐標系的投影。這一晶面一般選擇晶胞的低指數面，在立方晶系中一般用（100）、（110）、（111）面，而在六方晶系中用（0001）、（10-10）、（11-20）面。在表征材料的織構時，一般一個面的極圖既可以表示出全部的織構，其他晶面的極圖可以用于相互驗證。極圖主要用來描述板織構{hkl}<uvw>。根據極圖的定義，很容易的看出，它表示的是晶體坐標系與樣品坐標系的關系。下面我們重點介紹任一織構{hkl}<uvw>對應的某一晶面(HKL)的極圖畫法。

步驟：

1. 根據晶面之間夾角的計算公式可以算出{hkl}與(HKL)之間的夾角θ、{uvw}與(HKL)之間的夾角φ。

2. 在烏氏網上以圓心為中心，分別以θ為半徑劃圓，再以上下極點為中心，在烏氏網(Wulff’net)上找到與φ對應的兩條等曲線，與前面的圓共有若干個交點。這些點就代表了在(HKL)極圖的{hkl}<uvw>織構。

例1：{001}<100>立方織構的(111)、(200)、(220)標準極圖的繪制方法^[2]。

a. {100}與(111)晶面的夾角是7°，在吳氏網(Wulff’net)上以圓心為中心（零度），在水平線或垂直線上找到54.7°點為半徑劃圓；該圓與以上下極點為中心距離為54.7°的兩條弧線相交于4個點，這就繪成了立方織構的(111)極圖。

圖4?{001}<100>立方織構的(111)極圖

b. {100}與(200)晶面的夾角是0°和90°，在吳氏網(Wulff’net)上的圓心和圓周滿足(100)//ND的條件，上下極點和水平線滿足<100>//RD的條件，因此，上下極點、左右極點和中心圓點共5個點就構成了立方織構的(200)全極圖。

圖5?圖4?{001}<100>立方織構的(200)極圖

c. {100}與(220)晶面的夾角是45°和90°，在吳氏網(Wulff’net)上以圓心為中心，距離圓心為45°和90°的圓就代表了(100)//ND,以上下極點為中心，距離極點為45°的弧線和通過圓心的水平線表示<100>//RD,上述圓和弧線、水平線的所有10個交點構成立方織構的(220)全極圖。

圖6 圖4?{001}<100>立方織構的(220)極圖

有了標準極圖，我們就可以拿所測的極圖做比較，很容易看出織構成分，簡單易行。大家可以看出，畫標準極圖最主要的是正確的計算晶面族之間的夾角。

2）極圖、反極圖的分析方法

A. 很多同學或者老師在面對極圖和反極圖時往往一臉迷茫。極圖的分析對于初學者確實比較難，一般的分析方法是將所得極圖與單晶極射赤面投影對比，一旦對上，則單晶投影圖的圓心給出晶面指數（HKL），軋向所指的晶面給出晶向指數<uvw>. 但實際所測的織構成分往往有很多種，這種對比的方法工作量非常之大。筆者建議極圖分析用解析法。其一般步驟如下：

a.先看對稱性（織構的成分一般具有對稱性的，立方織構）；

b.再根據看與投影中心和上下兩極點的夾角；

c.與中心計算的夾角求得晶面指數，與上下極點的夾角讀書求得晶向指數。

圖7?立方結構（111）極圖分析圖解

?

舉例1：如圖7所示為（111）極圖，這意味著織構密度最大的四個點（圖中為紅點）都為{111}晶面族的子面。首先計算出與（111）晶面呈α角度的晶{hkl}—晶面指數，再利用β角度求出晶向指數<uvw>.所得到的（hkl）<uvw>便是該極圖反應的織構。這僅為理論上極圖的分析，實際測得的極圖遠為復雜，分析時需要大家綜合分析。下面筆者帶大家分析個實測的極圖。

舉例2：如圖8所示，首先我們找三個極圖的對稱性（不同顏色的小三角形表示），可以看出，該材料主要存在三種板織構，分析方法如上。實際中由于各種復雜的因素，極圖的對稱性不是特別理想，我們在分析織構時也不必要刻意求對稱性，可以假想某幾個點旋轉某一角度對稱即可。

圖8?立方結構極圖的分析

舉例3：如圖9所示，紅色的兩部分明顯對稱，而黃色的并不對稱，但是六方晶系的織構一般是對稱的，所以我們可以根據極圖的情況假設四點對稱，從而求出晶向指數與晶面指數。圖中紅色部分織構為：（11-20）[1-100]。藍色部分織構為：(11-20) [3-302].

圖9?鈦合金（0001）和（10-10）極圖分析^[3]

B. 反極圖的分析方法

反極圖與極圖正好相反，它表示各晶粒對應的外觀方向（如軋面的橫向、軋向和法向）在晶體學取向坐標系中所做的投影。反極圖特別適合分析絲織構。例如圖10所示為立方材料在XO、YO、ZO三個方向所得反極圖。可以看出，反極圖中XO和ZO方向的<101>和<111>方向織構密度最大.所以材料中存在<101>//XO與<111>//ZO兩種絲織構。反極圖的分析方法比較簡單，特別需要注意的是如果要分析板織構，則需要三個方向的反極圖。實際中如果材料中存在反極圖，筆者建議還是利用極圖進行分析。

圖10 反極圖的分析

3）附件，立方晶系和六方晶系的晶面夾角

極圖的分析主要難點是是晶面族之間夾角的計算，雖然課本上給出了公式，但是很多同學依然不能夠正確計算，筆者今天就列出立方晶胞各晶面族之間的夾角，在列出六方晶系典型晶面族之間的夾角^[4]，以提供給大家方便。

表1?立方結構各晶面族之間的夾角

表2?密排六方典型晶面族之間的夾角

參考文獻：

[1] 楊平，電子背散射技術及其應用，冶金工業出版社；

[2] 陳亮維，史慶難，王劍華等，一種晶體織構極圖的分析方法；

[3]?Peng Lin, AihanFeng , ShijianYuan et al; Microstructure and texture evolution of a near-a titanium alloy during hot deformation. Materials Science & Engineering A. 563 (2013) 16–20

[4] 陳亮維,霍廣鵬，虞瀾等，金屬鋯織構的標準極圖及分析，昆明理工大學學報。

本文由虛谷納物供稿。

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