石墨烯是半導體那為什么導電性強？

【回答】

首先大面積石墨烯不是半導體，扶手椅型的石墨烯納米帶是半導體。石墨烯導電性強，不僅僅是因為零能隙，更重要的是在零能隙的這些點上電子性質的獨特性。當我們談論一個材料的電子學特性的時候不討論它的能帶分布的都是在耍流氓。能帶分布怎么來的，首先我們要來看石墨烯的晶體結構與倒格子，所謂倒格子是與晶格空間相對應傅里葉變換出來的波矢空間，也可以說是動量空間，因為，這個空間很重要所有關于石墨烯電子運動的敘述都要在此空間中展開。

石墨烯的能帶分布是靠緊束縛模型算出來的。什么是緊束縛模型？在緊束縛模型中電子想要躍遷到其他地方，需要脫離原子的勢場，所以我們將在一個原子附近的電子看作受該原子勢場的作用為主，其他原子勢場的作用看成微擾，從而可以得到能帶分布。于是我們就有這樣一張關于石墨烯的能帶分布圖。

在K，K'點附近，我們能得到附近波矢的色散關系（能量與波矢的關系）

?我們可以看出來在K，K'點附近色散關系是近似線性的，這說明什么，在量子力學中動量與波矢差得只是一個約化普朗克常量，也就等效于動量與能量的關系為線性，這也就表明電子的速度為常量，并不受動量與動能的影響，我們把3ta/2定義為費米速度。
在描述電子運動的時候，我們往往把一個在晶格內運動的電子，等效為一個在自由空間中運動的電子，所以我們可以引入一個有效質量的概念，將晶體中的場對于電子的影響等效于自由空間運動的電子的質量,由于色散關系為線性，且在能量為零的點對稱，導致E(k)在K點不連續，導致二階導數無窮大，所以電子的有效質量為零。
這種情況下，我們用薛定諤方程來描述粒子的運動已經無效了，我們需要運用引入了相對論效應的狄拉克方程來描述。事實上當我們將電子算符在K，K’進行傅里葉展開，代入哈密頓量之后，我們可以得到一個與二維的無質量電子的狄拉克方程近似的方程

?通過上面的公式，我們可以在K附近可以得到波函數在K的分量 為

?在K'的分量為

?我們可以看到我們將M作為原點，可以看到兩個分量的方向是軸對稱的，并且相位差為π+，粒子波函數在兩個波矢方向的分量可以等效為一組自旋量。對于自旋量與動量的關系，我們可以引入螺旋度的概念，既動量算子對于自旋方向的投影，螺旋度的算子定義為：。由于自旋量在物理實質上是粒子的波函數的動量分量，所以我們很容易得到其螺旋度為。這與狄拉克方程中所描述的無質量的自旋為的電子相似，狄拉克方程中，電子自旋方向只會與動量方向相同（正粒子），或與動量方向相反（反粒子），而在石墨烯中K，K'附近的電子就對應的是正粒子（螺旋量，能量為正），空穴對應的是反粒子（螺旋量，能量為負）。這樣電子與空穴與狄拉克方程所描述自由空間中無質量的兩種狀態的電子等效，所以我們可以把石墨烯狄拉克的空穴與電子稱為狄拉克費米子，K，K'被稱為狄拉克點。

狄拉克方程所描述的兩種狀態的電子可以在能量為零的狀態下相互轉化，狄拉克費米子也是如此，空穴與電子也可以在能量為零的點相互轉化，且不消耗能量，這也就導致了如果我們改變石墨烯縱向的電壓，我們就可以得到不同種類和濃度的載流子，這也就是我們可以制造石墨烯場效應管的原因。
關于石墨烯非常高的電子遷移率的原因也是由于狄拉克點的存在，由于量子隧穿效應的影響，電子有概率穿過高于自身能量的勢場，對于如下圖的勢場，通過計算我們可以得到狄拉克費米子的隧穿概率。

當時隧穿概率為1，這只有狄拉克費米子才有的性質，對于非相對論條件下的電子無用，正是因為在粒子在石墨烯中可以完全隧穿，使得石墨烯中的空穴與電子可以擁有非常長的自由程。也是因此石墨烯的電子運動幾乎不受聲子碰撞的影響，這使得電子運動受溫度的影響非常小，同時在強場下電子的遷移率也保持得比一般材料好。
綜上所述，石墨烯良好的電子學性質并不是因為其“半金屬”性，而是由于狄拉克點的存在。

本文轉載自知乎作者山旁之樹，鏈接：https://www.zhihu.com/question/24285104/answer/43627219。

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