晶體學的天花板：單晶極射赤面投影的原理及應用

在材料科學體系中，晶體學是非常重要的內容，晶體結構可謂是材料的“骨骼”。一款材料是否具有優異的性能和潛力，很大程度上取決于“骨骼”是否奇特。晶體學的內容也非常豐富，主要包含基本的晶面指數，晶向指數的標定到晶帶定律，菊池花樣，單晶極射赤面投影等。晶體學不僅僅是材料科學的重要內容，在工程應用中也發揮著巨大的作用。在晶體學中，單晶極射赤面投影可謂是天花板的存在，這部分內容本身在論文中不多見，但卻是鏈接整個晶體學的樞紐。

1. 單晶極射赤面投影在晶體學中的樞紐作用；

單晶極射赤面投影可以將晶面指數，晶帶軸，晶面夾角有機的聯系起來。晶面指數，晶帶軸，晶面夾角又是極圖，反極圖以及衍射花樣的基礎。如果能夠精通單晶極射赤面投影的內容，對其加以化裁和變通，整個晶體學的內容也就基本了然于胸。單晶極射赤面投影關聯的整個晶體學的內容如圖1所示，可以看出，單晶極射赤面投影幾乎連接了所有的晶體學。因此，學好單晶極射赤面投影非常的必要。

圖1 單晶極射赤面投影關聯的晶體學內容

2. 單晶極射赤面投影的原理；

2.1 單晶極射赤面投影的方法

將某晶胞放在投影球中心，晶面法線與球面相交的交點－叫極點。晶向直線的垂直面擴展到與投影球相交所得的大圓,叫極線或極圓。極點與S極聯結，與極圓相交的點叫做投影點。如圖2所示，將晶胞放在球心，然后引各晶面的法線（圖中綠線和紅線）無限延伸，與球面相較于某點（A、B兩極點），然后把球面的點與參考球的南極點S相連，則在赤道圓上相較于A'和B'兩點，叫做A、B兩極點的極射赤面投影點。極射赤面投影投影與晶面的夾角和晶帶軸緊密相連。下面主要通過一個例子，讓我們深刻感受一下單晶極射赤面投影的畫法。

圖2 立方晶胞（001）、（100）和（010）面的極射投影

舉例1：立方晶系標準（001）的投影圖

首先可以確定（001）極點在投影圖極圓中心，其對應的大圓是基圓圓周，因此[001]為晶帶軸的所有極點都在基圓圓周上，因為首先根據坐標系，確定（100）極點，由于（010） ⊥ （100），逆轉90°便得（010）。（110）和（-110）也屬于[001]晶帶，由于（110）與（100）和（010）極點夾角分別為135°和45°，在圓周上旋轉相應角度便得兩個極點位置。根據象限規律可得（0-11）和（011）極點。以[010]為晶帶軸的晶帶位于過（100）極點和圓心的直徑上，（101）（-101）屬于此晶帶，計算他們與（010）和（001）的夾角就可以定出他們的極點位置。[-101]過 (010)和（101）的大圓弧，[0-11]晶帶過（100）和（011）極點的大圓弧，（111）同屬[-101]和[0-11]晶帶，所以交點就屬于（111）極點。

圖3 立方晶系標準（001）的投影圖

由此可以看出：確定任一極點位置的要素，應從兩個方面入手：a.確定所述晶帶軸；b.確定此點原點和N或S極點的夾角。人工繪制一張單晶極射赤面投影是非常費時費力的，隨著計算機的發展，國內外目前已經開發出了許多軟件。利用這些軟件可以很快的畫出任何晶胞結構任何晶面的極射赤面投影圖，在這里給大家推薦的是顧新福老師開發的PTCLab軟件。

3. 利用單晶極射赤面計算晶面夾角并辨別相關晶帶；

單晶極射赤面投影圖可以反應許多晶體學的知識。從一張投影圖中測算晶面夾角是非常方便的。根據單晶極射赤面投影的繪制原理，可以看出在在投影圓上，1/4圓弧代表90°，半徑代表90°，1/8圓弧為45°，1/2半徑同樣為45°。只要測得兩個晶面之間圓弧的距離或者直徑上的距離，就很方便的可以計算出二者之間的夾角，從而得到晶粒之間取向差之間的計算。另外，在極射赤面投影圖上，直徑以及經線代表某一晶帶軸，根據晶帶定律，根據其中兩個晶面便可直到該晶帶的晶帶軸。

4. 單晶極射赤面投影的特點解析；

(1) 與赤道面平行的晶面，它的極射投影必在極圓中心；

(2) 垂直于赤道面的晶面，它們的極點的投影必在極圓的圓周上；

(3) 傾斜晶面極點的投影必在極圓內，晶面法線與投影的夾角越小，則投影點距極圓中心越近。

(4) 投影圖上的直線和圓弧上所有的點屬于同一晶帶。

(5) 每一點的位置可以根據他所屬晶帶以及與圓心和上下極點的所呈角度求出。

圖4 {100}晶面族的單晶極射赤面投影

5. 極射投影與極圖反極圖的關系；

要想理清極射投影與極圖和反極圖的關系，首先要對二者由清晰的認識。首先，單晶極射赤面投影表示以某個面為投影中心，給出其它晶面的位置。而極圖則已知某個晶面族的幾個晶面的位置，求中心位置的晶面以及宏觀方向對應的晶向。因此，二者之間是一個相反的過程，稱之為倒置關系。如圖5所示，（a）為幾種典型織構的{001}極圖，說明所有的點都是{001}晶面族中晶面的點，現在要求織構的類型。如果已知極射赤面投影與極圖的倒置關系，則需要知道以某晶面為中心的{001}晶面的位置正好對應的極圖，便可輕松求得該織構的密勒指數。以立方織構為例，可以看出（b）圖中（001）極圖與其對應的非常符合，因此，其密勒指數為（001）<001>。這里需要注意的是，表示織構的晶面與晶向指數必須是互質的整數。同理，其它織構都可以按照這種方法讀出。

圖5 Brass，Cu，S和Cube織構的{001}極圖以及立方晶系的(001)單晶極射赤面投影。注意體會二者的倒置關系。

6.單晶極射赤面投影和透射斑點

透射衍射斑點是某晶帶軸除去消光點的晶面所留下的斑點。一般需要正確標定出所在的晶帶軸以及相關的晶面指數。單晶極射投影圖上雖然不能直接給出相關的信息。但是需要提醒的是，極射赤面投影是測量晶帶軸以及晶面夾角的利器。根據平行四邊形原則，測出衍射點之間的夾角，再結合極射投影圖，便可得到相關的晶面，再根據晶帶定律，已知兩個晶面，求出先關的晶帶軸。

7. 單晶極射赤面投影和菊池花樣；

菊池花樣是EBSD和TEM中計算晶粒取向最為重要的工具，但是其理解卻非常有難度。經驗豐富的透射操作手雖然可以輕松的根據菊池花樣看出某晶帶軸，但是背后的原理則未必能夠了解。如果對單晶投影由正確的理解。理解菊池花樣便不再有困難。理解菊池花樣最為主要的是看晶帶軸中的對稱性(晶面夾角)和平行線之間的距離(晶面間距)。單晶極射赤面投影可以給出晶帶軸與晶面夾角的準確信息，將其與投射斑點進行對比，便可很好的理解菊池花樣。