學術干貨 | 那些常見的高分子化合物分子量測定技術
高分子化合物的相對分子質量與高分子材料的性能有密切聯系，因此選擇合適分子量測定技術非常重要。根據統計方法不同，高分子化合物分子量有數均分子量、重均分子量、粘均分子量以及Z均分子量。不同的類型對應不同的方法，其中，粘度法和凝膠滲透色譜法（GPC法）兩種方法操作簡便，準確度高，目前是實驗室最為常用的兩種方法。
1.高分子化合物的分子量及分子量分散程度
通常，高分子化合物的分子量高達上萬甚至幾十萬。正是由于很高的分子量，使得聚合物具有力學性能，這是低分子化合物所不具備的。
高分子化合物的分子量對其材料的力學強度有密切的聯系。因此，分子量的測定對于高分子材料的應用尤為重要。圖1為聚合物相對分子量與力學強度的關系曲線。從圖中看出，當分子量較低時，聚合物不具備力學性能；當分子量達到一定程度時（圖1中A點），聚合物才表現一定的力學強度，隨后材料的力學強度隨著分子量的增加迅速提高；當聚合物分子量足夠大時（圖1中B點），材料力學強度隨著分子量的增加沒有太大的變化。
圖1 聚合物分子量與力學強度的關系曲線
為了表征高分子材料的分子量，一般而言，相對分子質量為統計平均值。根據統計方法不同，存在四種平均分子量。
1）數均分子量[1]
式（1-1）
2）重均分子量
式（1-2）
3）粘均分子量
式（1-3）
4）Z均分子量
式（1-4）
聚合物的分子量具有多分散性，即同一種聚合物，內部存在分子量高低不同的部分，而這些都將對材料的力學強度造成很大影響。為了表征聚合物的多分散性，定義了多分散性系數d，它表示同一種聚合物，其重均分子量和數均分子量的比值[2]，表達式如下：
式（1-5）
d值越大，表明分子量分布越寬，分子量大小越不均一；d值越小，則分子量分布越窄，分子量大小越集中；d=1，表明分子量單分散，幾乎很難找到單分散的聚合物。
2.數均分子量測定
常見的方法有[3.4]：端基滴定法、沸點升高法、冰點降低法、滲透壓法。這些方法主要利用溶液的依數性，屬于絕對方法。但由于以上方法操作局限性大，實驗精度不夠，可測試的分子量范圍不廣，基本上了解原理即可。
2.1 端基滴定
如果待測樣品初步估計分子量不大，化學結構明確，且其末端具有能夠通過化學方法進行定量分析的基團，那么可以通過分析一定重量的聚合物中端基數目來確定其分子量，如聚己內酰胺（尼龍6），其末端一端為氨基，一端為羧基。
但是隨著線型聚合物結構單元數的增加，端基在分子鏈中的比例降低，使得實驗誤差增加，故該方法不適用于分子量較大的聚合物。另外，如果待測樣品存在支鏈或者交聯結構，也不適用于該方法。
2.2 沸點升高法、熔點降低法
該方法是利用溶液的依數性測定分子量的經典物理化學方法。所謂依數性，就是溶液的某些性質與溶液的濃度有關，與溶液的化學組成無關。在純溶劑中加入少量的溶質形成稀溶液，其沸點和熔點會發生變化，相關公式如下：
式（2-1）
式（2-2）
式中，溶液濃度C的單位為g/kg溶劑，另外，溶劑的K值有如下定義：
式（2-3）
?式（2-4）
式中，Tb和Tf分別表示溶劑的沸點和冰點，△Hv和△Hf分別表示每克溶劑的蒸發熱和熔融熱。
由于高分子溶液與理想溶液的行為偏差很大，必須要將溶液濃度外推至零，則以△T/C對C作圖，并外推，得到：
式（2-5）
沸點升高或冰點降低法測得數均分子量，推導如下：
式（2-6）
2.3 滲透壓
如果用半透膜將樣品池分隔為兩部分，一部分加入純溶劑，另一部分加入濃度已知的聚合物稀溶液，控制起始液面等高度。由于純溶劑與溶液的化學位不相等，溶劑分子能自由穿過半透膜，而聚合物分子無法穿過半透膜，導致兩邊液面出現高度差，當溶劑分子穿越速率與兩側靜壓力差達成動態平衡后，兩側液面高度差將保持不變，而此時，液面的高度差與溶液的滲透壓成正比。圖2表示滲透壓的原理示意圖，其中P0為大氣壓，Π表示滲透壓。
圖2 滲透壓法原理示意圖
如果是小分子稀溶液，則根據Van’t Hoff方程，滲透壓和溶質分子量可表示為：
式（2-7）
但是，前文提到過，由于高分子溶液無論再稀，都不能滿足Rault定律，因此，需要對式（2-7）進行修正，得到：
式（2-8）
式中，A2和A3表示第二和第三維利系數，第二維利系數根據Flory-Huggins溶液理可表示為：
式（2-9）
A2可以看作高分子鏈段與溶劑的相互作用的參數，當A2=0時，高分子稀溶液的行為與理想溶液行為無偏差，可以將高分子稀溶液看成理想溶液，將式（2-8）簡化為式（2-7）。于是，定義該狀態為θ狀態，對應的溫度為θ溫度，所用的溶劑為θ溶劑。需要強調的是，此時高分子稀溶液仍然不是理想溶液，只是其過量化學位等于零。
有些教材提到過第三維利系數不為零的問題，對實驗結果造成誤差，為了消除誤差，可利用下式展開：
式（2-10）
式（2-11）
將式（2-11）外推至無限稀的情況，得到：
式（2-12）
利用滲透壓法得到的分子量也是數均分子量，推導如下：
式（2-13）
?式（2-14）
3.重均分子量的測定
主要有光散射法、小角激光光散射法、超速離心沉降法等，但超速離心沉降法操作過程復雜，逐漸有被光散射法以及GPC法代替的趨勢。其中，光散射法是較為經典的測試方法，屬于絕對方法，本文僅對光散射法展開詳細說明。
3.1 光散射法
該方法基于聚合物溶液光學性能的不均勻性[5.6]，通過測定聚合物溶液中光散射現象，建立聚合物溶液濃度與相對分子質量之間的關系。
基本原理如圖3所示，當入射光通過某種介質時，部分光線不改變光路，而部分光線的傳播方向發生散射或折射。散射光方向與入射光方向夾角為θ，成為散射角。而發生散射光的質點稱為散射中心，散射中心與觀察點的距離為觀察距離r。散射光的強度與散射質點發出的散射光是否相互干渉有關。
圖3 光散射法原理示意圖
關于光的散射相關理論非常復雜，即便是較為權威的高校教材也只作簡單介紹。一般而言，具體公式的使用，需要就聚合物溶液散射中心（單個大分子）的尺寸大小，進行分類討論。
3.1.1 小粒子散射中心（大分子尺寸小于入射光波長1/20）
假定入射光為垂直偏振光，則散射光強與散射角大小無關。散射光強I和入射光強I0存在如下關系：
式（3-1）
式中，λ為入射光在真空中的波長，n為溶劑折光指數，?n/?C為溶液的折光指數增量，NA為Avogadro常數，A2為第二維利系數。
然后，引入瑞利因子，定義如下：
式（3-2）
將式（3-1）和式（3-2）聯立，得到：
式（3-3）
如果溶質、溶劑、光源的波長以及測定溫度已知，則引入光學常數K，定義如下：
式（3-4）
K值可預先測定，于是式（3-3）可寫為：
式（3-5）
以上公式使用的前提是入射光為垂直于測量平面的偏振光，如果入射光為自然光，則需要考慮散射光強與散射角的關系，式（3-5）可修正為：
式（3-6）
通常將散射角θ固定為90度，那樣受到的干擾最小，那樣， 式（3-6）可簡化為：
式（3-7）
在實驗過程中，改變溶液濃度，得到一系列R90值，并以KC/2R90對C作圖，得到一條斜率為2A2，截距為1/M的直線。如果外推至濃度為無限稀的情況，則有：
式（3-8）
利用光散射法得到的是聚合物的重均分子量，推導如下：
式（3-9）
3.1.2 大粒子散射中心（大分子尺寸大于入射光波長1/20）
其原理類似，只是需要考慮散射光的內干涉效應，對式（3-6）引入散射因子P（θ），修正如下：
式（3-10）
?式（3-11）
如果高分子溶質是無規線團，則有：
式（3-12）
如果利用展開式，略去高次項，則有：
式（3-13）
實際實驗中，為了消除散射角造成的影響，需要進行修正，最終結果如下：
式（3-14）
3.1.3 Zimm圖
實驗方法是通過配制一系列濃度不同的溶液，求出Rθ，為了方便處理數據，將式（3-14）進行簡化，過程如下：
式（3-15）
?式 （3-16）
式（3-16）中，存在C和θ兩個變量，如果兩者分別外推至零，則有：
式（3-17）
?式（3-18）
為了作圖方便，引入Zimm作圖法。其縱坐標為Y，橫坐標為sin2（θ/2）+qC，其中，q為任意常數，取值不影響實驗結果。圖4為PDDA氯化鉀溶液的光散射Zimm圖[7]，綠線代表θ外推至零得到的圖線，用式（3-17）；紅線代表C外推至零的圖線，用式（3-18），代入實驗數據即可得到相對分子質量。該實驗使用了垂直偏振光作為入射光，故不需要考慮散射角的影響。
圖4 PDDA（Mw=244000）氯化鉀溶液的光散射Zimm圖
利用Zimm圖，除了得到重均分子量，還能得到第二維利系數和均方末端距，后兩者參數與分子量關系不大，不作展開。
4.粘均分子量的測定
特性粘度法[1-6]是最為重要的方法之一，是一種相對方法。高分子的粘性來自于分子間相互作用力，這是高分子化合物區別于低分子化合物的重要特征，粘性的大小和分子量有關。Mark-Houwink公式歸納了特性粘數和分子量之間的關系，盡管是經驗公式，實驗室測定分子量離不開該公式。特性黏度法用于稀溶液，得到粘均分子量。
測定粘均分子量不需要很精密的儀器，常用烏氏粘度計測定，操作簡便，實驗精度高，可以定期大量滿足實驗室的測定需求。圖5為烏氏粘度計示意圖。
圖5 烏氏粘度計示意圖
4.1 相關公式
溶劑粘度η0的單位為Pa·s。η為聚合物溶液的粘度。
相對黏度ηr
式（4-1）
增比粘度ηsp
式（4-2）
比濃粘度
式（4-3）
對數粘數
式（4-4）
特性粘數[η]
式（4-5）
4.2 Mark-Houwink方程
兩個人得到分子量和特性粘數的經驗關系式：
式（4-6）
其中，K和a是一定溫度下特定的聚合物-溶劑常數。關于常數值的訂定，需要經過絕對方法進行合理外推，如今，兩個常數可以通過查表得到。
將式（4-5）與式（4-6）聯立，并外推，得到：
式（4-7）
關于粘均分子量的推導如下：
式（4-8）
式（4-9）
4.3 實驗過程
4.3.1 粘度測量
式（4-10）
式（4-10）為泊肅葉公式，根據圖5的示意圖，烏氏粘度計內部有一根內徑為R，長度為l的毛細管，ab刻度線之間是體積為V的小球，P為小球內液體的自重，以上都是常數。用洗耳球將液體吸至刻度線a以上，記錄液面從a到b的時間t，得到下式：
式（4-11）
?式（4-12）
其中，t0為溶劑流出時間，t為各種濃度溶液流出時間。
4.3.2 動能矯正
如果儀器設計不周，或者溶液流速過大，則需要進行動能校正。
式（4-13）
?式（4-14）
?式（4-15）
式中，A、B為常數，可以通過計算得到，由于溶液很稀，所以溶液密度和溶劑密度近似相等。為了簡化數據處理過程，通常設計儀器時盡可能降低B值，計算時能夠忽略，最終處理成和式（4-11）式（4-12）相等的形式。
4.4 數據處理
4.4.1 稀釋法
實驗過程通過測量一系列濃度不同的稀溶液的粘度，以lnηr/C對C和ηsp/C對C作圖并外推至濃度為零的情況，如圖6所示[8]，兩條直線交于一點，其截距為[η]，查閱數據，得到K和a的值，即可得到粘均分子量。
圖6 PBA稀溶液ηsp/C（上）和lnηr/C（下）
4.4.2 一點法
由于稀釋法需要進行多次實驗，過程繁瑣，因此可以使用以下經驗公式簡化實驗過程。
式（4-16）
?式（4-17）
式（4-16）為Huggins方程式，式（4-17）為Kraemer方程式。對于柔性聚合物良溶劑體系，k=1/3，β+k=1/2。如果滿足這兩個關系式，則有：
式（4-18）
如果不能滿足條件，則有：
式（4-19）
式中，γ=k/β。
式（4-18）和式（4-19）雖然使用條件不同，但都屬于一點法，用于簡化實驗操作。關于一點法的使用，一定要滿足使用前提，否則會造成實驗結果很大的誤差。
5.凝膠滲透色譜法
這是自上世紀60年代以來發展的現代技術[9]，凝膠滲透色譜法簡稱GPC法，它除了具備特性粘度法的優點，同樣為相對方法，快速簡便，可重復性高，它能同時測定多種統計平均分子量，還能得出測試樣品的分散程度。
5.1 分離原理
凝膠滲透色譜的分離過程利用體積排除效應，以裝有凝膠顆粒的色譜柱為設備，凝膠顆粒事先經溶劑充分溶脹，并且凝膠內部存在網眼。將待測試樣溶于溶劑中，加入色譜柱進行淋洗，其中，體積小的分子能夠進入凝膠內部自由擴散，而體積大的分子則不能順利進入凝膠內部，于是被排除在外。根據這一原理，可根據分子體積大小差異對樣品進行分離。因此，大分子最先被淋洗出來，體積較小的分子隨后被排除，圖7為分離原理示意圖。這樣，根據淋洗時間和淋洗溶劑的體積，可推算出聚合物相對分子質量的大小，除此之外，還能得出分子量分散程度的關系。
圖7 GPC分離原理示意圖
5.2 柱參數
柱內凝膠顆粒事先經過溶劑充分溶脹，然后用溶劑填滿柱內空間，此時，就有如下關系式：
式（5-1）
式中，Vt為凝膠色譜柱內總體積；V0為柱內凝膠外部溶劑（流動相）的體積；Vi為柱內滲入凝膠顆粒的溶劑（固定相）的體積；Vg為柱內凝膠顆粒骨架的體積。Vt，V0，Vi，Vg均為柱參數。
定義Ve為溶質分子的淋出體積，K成為分配系數，表示體積為Vi的孔洞中，溶質可以滲入的部分與Vi的比值，定義式如下：
式（5-2）
?式（5-3）
如果高分子尺寸很大，任何一個孔洞都無法進入，那么它直接被排除，Ve=V0，K=0；如果分子尺寸很小，能夠滲入任何一個孔洞，則Ve=V0+Vi，K=1；如果分子尺寸中等大小，則介于兩者之間。
5.3 普適校正原理
GPC分離實驗預先需要作出待測試樣的校正曲線，以分散程度為1的樣品作為標樣。經過陰離子聚合得到的聚苯乙烯分散程度接近1，可近似看作單分散樣品，作為標樣使用。但是，聚苯乙烯只是一個特例，其校正曲線并不能適用于所有的聚合物樣品。
為了能推廣，必須找到一個參數，通過該參數，可以適用于所有聚合物分子質量，該參數即為普適標定參數，利用該參數得到的校正曲線即為普適標定曲線。研究表明，聚合物流體力學體積可以作為普適標定參數。相關公式如下：
根據Einstein粘度公式：
式（5-4）
式中，Vh為溶質分子流體力學體積，[η]M與Vh成正比，因此[η]M可以作為理想的普適標定參數。如果用lg[η]M對Ve作圖，將得到一條曲線，而且任意聚合物的標定曲線都能重合，推導如下：
假定聚合物A和B具有相同的淋出體積，則有：
式（5-5）
根據Mark-Houwink公式，改寫上式：
式（5-6）
如果KA、KB、aA、aB已知，且aA=aB，則有：
式（5-7）
定義位移因子：
式（5-8）
上式表明，雖然分子量標定曲線不重合，但是相互平行，只要用位移因子就能從一種分子量換算成另一種分子量。
5.4 數據處理
如今市售的GPC儀器能夠通過軟件進行校準和數據處理，為了能說明問題，圖8表示校準過程[10]，用于選擇合適的流動相。圖9為對應的GPC圖線[10]，軟件最后能分析出多種類型的分子量以及分散程度。以上案例僅做參考，具體操作需要以實驗室設備型號為主。
圖8 以含0.05mol/L KNO3的DMF作為流動相時純PAN聚合物的譜圖
圖9 不同濃度樣品對應的GPC譜圖
6.結語
表征高分子化合物分子量的方法眾多，目前最主要的方法有粘度法和GPC法。隨著實驗要求的提高，有些實驗室選擇多種現代檢測手段聯用，在不久的將來也許能衍生出新的檢測技術。
本文公式較多，為了避免混亂，公式整理自參考文獻1。
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本文由材料人編輯部學術干貨組黃道囡囡供稿，材料牛編輯整理。
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